球坐标下的 Laplace 算子推导
Ciallo～(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鹤鸣！在学习球谐函数的时候，第一次听说球坐标下的 Laplace 算子这一概念. 在查阅了一些资料后，现在整理出球坐标下拉普拉斯算子的推导公式.
1. 球坐标
我们非常熟悉的坐标系是初中时学习过的具有 \(2\) 个维度 \(x\) 和 \(y\) 的平面直角坐标系. 然后在高中，我们将平面直角坐标系拓展到了具有 \(3\) 个维度的空间直角坐标系，下图（引用自球坐标系 - 小时百科）就是用 \(x\)、\(y\) 和 \(z\) 三个互相垂直的维度表示的空间直角坐标系.
如果想定义球坐标，在我们熟悉的这个空间直角坐标系中建立定义是最简便的.
在空间直角坐标系中存在某一点 \(P\)，那么
| 名称 |
符号 |
定义 |
约束 |
| 位矢（position vector） |
\(\boldsymbol {r}\) |
坐标原点\(O\)（球心）到点 \(P\) 的向量 \(\vec{OP}\). |
- |
| 位矢的模 |
\(r\) |
位矢\(\boldsymbol {r}\) 的模长，即点 \(P\) 与坐标原点 \(O\) 的距离. |
\(r \geq 0\) |
| 极角（polar angle） |
\(\theta\) |
位矢\(\boldsymbol {r}\) 与 \(z\) 轴的夹角. |
$\theta \in [0, \pi] $ |
| 方位角（azimuthal angle） |
\(\phi\) |
\(\boldsymbol {r}\) 在 \(xOy\) 平面上的投影与 \(x\) 轴的夹角. |
$\phi \in [0, \ 2 \pi) $ 或 $ (−\pi,\ \pi] $ |
因此，点 \(P\) 可以用 \((r, \ \theta, \ \phi)\) 这 \(3\) 个有序实数来表示，称为该点的球坐标（spherical coordinates）.
当然，我们可以把球坐标系中的坐标转化到空间直角坐标系中的坐标.
根据图中角与向量的关系，我们可以得到位矢在空间直角坐标系中的分量
\[\boldsymbol{x} = \sin{\theta} \cos{\phi} \boldsymbol{\hat{x}}
\]
\[\boldsymbol{y} = \sin{\theta} \sin{\phi} \boldsymbol{\hat{y}}
\]
\[\boldsymbol{z} = \cos{\theta} \boldsymbol{\hat{z}}
\]
其中，\(\boldsymbol{\hat{x}} = (1, \ 0, \ 0)^T\)，\(\boldsymbol{\hat{y}} = (0, \ 1, \ 0)^T\)，\(\boldsymbol{\hat{z}} = (0, \ 0, \ 1)^T\)，它们是空间直角坐标系中的一组单位基.
因此，单位位矢 \(\boldsymbol {\hat{r}}\) 可以表达为
\[\boldsymbol {\hat{r}} = \boldsymbol {x} + \boldsymbol {y} + \boldsymbol {z}
\]
那么引入常量 \(r\)，位矢就可以表达为
\[\boldsymbol{r} = r \cdot \boldsymbol {\hat{r}}
\]
2. 拉梅系数
球坐标系虽然定义在空间坐标系中，但是空间坐标系的 \(x\)，\(y\)，\(z\) 在三个方向上都可以分别从负无穷取到正无穷；然而，在球坐标系中，\(r\) 必须大于或等于 \(0\)，\(\theta\) 和 \(\phi\) 的定义域也都有自己的限制，从这个角度上说，它们都没法取到实数域上的每一个值.
如果我们按照三个维度等分整个空间坐标系会发生什么？比如说，我们按照 \(0.01\) 为边长，把整个空间坐标系按 \(x\)，\(y\)，\(z\) 三个维度切割后，就会得到很多很多边长为 \(0.01\) 的完全相同的小块.
然而在球坐标系中，两个带角度的维度的稍稍变化会在球面上划出一个曲面，而稍稍拉长一下位矢，但不改变位矢的方向，就会让这个曲面向外微微膨胀，但这个小块不是一个正方体，而是像一个稍稍掰弯的六面体.
可见，球坐标系看起来不太寻常！空间坐标系看起来是“均匀”的，但球坐标系是“不均匀”的.
请观察我绘制的这个小块的图像. 在空间坐标系下，假设点 \(P\) 产生了 \((\mathrm{d} x, \ \mathrm{d}y, \ \mathrm{d}z)\) 的位移，那么沿着这三个维度的形成了一个边长（弧长）分别为 $ \mathrm{d} l_x,\mathrm{d} l_{y}, \mathrm{d} l_{z} $ 的六面体，称为微元.
我们知道球坐标系和平面坐标系存在着差异，因此它们的微元弧长也存在某种关系.
以 \(u_i\) 这个基（轴）为例，弧长 \(\mathrm{d} l_i\) 满足下式
\[\mathrm{d} l_i = H_i \mathrm{d} u_i
\]
如果在 \(n\) 个基上定义了位矢 \(\boldsymbol{r} = (u_1, u_2, \dots, u_n)^T\) ，那么就有
\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u_i} \mathrm{d} u_i
\]
其中 \(\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u_i}\) 称为切矢.
我们通常希望用一个单位基向量来表示切矢，那么就有
\[\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u_i} = H_i \boldsymbol{\hat{u}_i}
\]
其中 \(\boldsymbol{\hat{u}_i}\) 是单位基向量，\(H_i\) 称为拉梅系数.
实际上，拉梅系数表示了在这个单位基上微元的“边长”. 特别地，空间直角坐标系的拉梅系数为 \(H_x = H_y = H_z = 1\)，这也解释了它的“均匀性”.
3. 正交曲线坐标系
对球坐标系中的位矢 \(\boldsymbol {r}\) 求微分
\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} =
\dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \mathrm{d}r + \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \mathrm{d} \theta + \dfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \mathrm{d} \phi
\]
将式代入得
\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} =
\left( \boldsymbol {x} + \boldsymbol {y} + \boldsymbol {z} \right) \mathrm{d} r + r \left( \cos{\theta} \cos{\phi} \boldsymbol{\hat{x}} + \cos{\theta} \sin{\phi} \boldsymbol{\hat{y}} - \sin{\theta} \boldsymbol{\hat{z}} \right) \mathrm{d} \theta + r \sin{\theta} \left( -\sin{\phi} \boldsymbol{\hat{x}} + \cos{\phi} \boldsymbol{\hat{y}} \right) \mathrm{d} \phi \\
\]
观察式子里的这三项
\[\boldsymbol {\hat{r}} = \boldsymbol {x} + \boldsymbol {y} + \boldsymbol {z}
\]
\[\boldsymbol {\hat{\theta}} = \cos{\theta} \cos{\phi} \boldsymbol{\hat{x}} + \cos{\theta} \sin{\phi} \boldsymbol{\hat{y}} - \sin{\theta} \boldsymbol{\hat{z}}
\]
\[\boldsymbol {\hat{\phi}} = -\sin{\phi} \boldsymbol{\hat{x}} + \cos{\phi} \boldsymbol{\hat{y}}
\]
计算其模长发现
\[\begin{align*}
| \boldsymbol {\hat{r}}| &= \sqrt{ \sin^2{\theta} \cos^2{\phi} + \sin^2{\theta} \sin^2{\phi} + \cos^2{\theta}} \\
&= \sqrt{ \sin^2{\theta} (\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi}) + \cos^2{\theta}} \\
&= \sqrt{ \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}} \\
&= 1
\end{align*}
\]
\[\begin{align*}
| \boldsymbol {\hat{\theta}}| &= \sqrt{ \cos^2{\theta} \cos^2{\phi} + \cos^2{\theta} \sin^2{\phi} + \sin^2{\theta}} \\
&= \sqrt{ \cos^2{\theta} (\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi}) + \sin^2{\theta}} \\
&= \sqrt{ \cos^2{\theta} + \sin^2{\theta}} \\
&= 1
\end{align*}
\]
\[\begin{align*}
| \boldsymbol {\hat{\phi}}| &= \sqrt{ \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}} \\
&= 1
\end{align*}
\]
且
\[\begin{align*}
\boldsymbol {\hat{r}} \cdot \boldsymbol {\hat{\theta}} &= \sin{\theta} \cos{\theta} \cos^2{\phi} + \sin{\theta} \cos{\theta} \sin^2 -{\phi} - \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= \sin{\theta} \cos{\theta} \left( \sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} \right) - \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= \sin{\theta} \cos{\theta} - \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[\begin{align*}
\boldsymbol {\hat{r}} \cdot \boldsymbol {\hat{\phi}} &= - \sin{\theta} \sin{\phi} \cos{\phi} + \sin{\theta} \sin{\phi} \cos{\phi} \\
&= 0
\end{align*}
\]
\[\begin{align*}
\boldsymbol {\hat{r}} \cdot \boldsymbol {\hat{\phi}} &= - \cos{\theta} \cos{\phi} \sin{\phi} + \cos{\theta} \sin{\phi} \cos{\phi} \\
&= 0
\end{align*}
\]
因此可知，\(\boldsymbol {\hat{r}}\)，\(\boldsymbol {\hat{\theta}}\)，\(\boldsymbol {\hat{\phi}}\) 是单位正交向量.
若对空间中任意一点，式中的三个矢量都两两正交，那么这个曲线坐标系就是正交曲线坐标系（orthogonal curvilinear coordinate system）. 球坐标系、柱坐标系、抛物线坐标系和椭圆坐标系，乃至直角坐标系都是一种曲线坐标系.
因此式可化为
\[\mathrm{d} \boldsymbol{r} = \boldsymbol{\hat{r}} \mathrm{d}r + r \boldsymbol{\hat{\theta}} \mathrm{d}\theta + r \sin{\theta} \boldsymbol{\hat{\phi}} \mathrm{d}\phi
\]
易知拉梅系数分别为 \(H_1 = 1\)，\(H_2 = r\)，\(H_2 = r \sin{\theta}\).
4. 梯度与 Nabla 算子
我们在正交曲线坐标系中定义梯度
\[\nabla u = \dfrac{1}{H_1} \dfrac{\partial u}{\partial u_1} + \dfrac{1}{H_2} \dfrac{\partial u}{\partial u_2} + \dfrac{1}{H_3} \dfrac{\partial u}{\partial u_3}
\]
注意，正是因为在正交曲线坐标系中，我们才带上了拉梅系数，回想起空间直角坐标系中我们的拉梅系数均为 \(1\).
因此，根据式求出的拉梅系数，球坐标上对函数 \(u\) 的梯度为
\[\nabla u = \dfrac{\partial u}{\partial r} + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial u}{\partial \theta}+ \dfrac{1}{r \sin{\theta}} \dfrac{\partial u}{\partial \phi}
\]
其中，\(\nabla\) 为 Nabla 算子
\[\nabla = \dfrac{\partial}{\partial r}+ \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r \sin{\theta}} \dfrac{\partial}{\partial \phi}
\]
5. 散度与 Laplace 算子
我们在正交曲线坐标系中定义散度
\[\Delta u = \dfrac{1}{H_1 H_2 H_3} \left[ \dfrac{\partial }{\partial u_1} \left( \dfrac{H_2 H_3}{H_1} \dfrac{\partial u}{\partial u_1} \right) + \dfrac{\partial }{\partial u_2} \left( \dfrac{H_1 H_3}{H_2} \dfrac{\partial u}{\partial u_2} \right) +\dfrac{\partial}{\partial u_3} \left( \dfrac{H_1 H_2}{H_3} \dfrac{\partial u}{\partial u_3} \right) \right]
\]
注意 \(H_1 H_2 H_3\) 相当于微元体的体积，且拉梅系数 \(H_i\) 不一定是常数.
因此，根据式求出的拉梅系数，球坐标上对函数 \(u\) 的散度为
\[\Delta u = \dfrac{1}{r^2 \sin{\theta}} \left[ \dfrac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \sin{\theta} \dfrac{\partial u}{\partial r} \right) + \dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \dfrac{\partial u}{\partial \theta} \right) +\dfrac{\partial}{\partial \phi} \left( \dfrac{1}{\sin{\theta}} \dfrac{\partial u}{\partial \phi} \right) \right]
\]
整理上式，得
\[\Delta u = \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial u}{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \dfrac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2{\theta}}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \phi^2}
\]
注意求偏导的时候，与其无关的变量都可以视为常数提出. 当然，你可以把括号里的每一项都求偏导打开，但是这样整个式子会非常长且不优雅.
其中，\(\Delta\) 为 Laplace 算子，也可以写作是 \(\nabla^2\)，即
\[\Delta =\nabla^2= \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial }{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial }{\partial r} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin{\theta}}\dfrac{\partial }{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \dfrac{\partial }{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2{\theta}}\dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\]
现在我们求出了球坐标系下的 Laplace 算子，下一期我们来推导球坐标系中 Laplace 方程的通解，从而得到球谐函数的表达式.
【参考资料/文献】
- 球谐函数 - 小时百科
- 球坐标系 - 小时百科
- 正交曲线坐标系 - 小时百科
- 浅谈：拉梅系数那些事儿 - 知乎
- 数学基础 | 正交曲线坐标系中梯度、散度、旋度的理解与记忆 - 知乎