积分技巧
不同坐标下的积分
直角坐标系
- 体积元素：\(dV=dxdydz\)
- 平行于xy平面的面积元素：\(dA=dxdy\)
- 平行于yz平面的面积元素：\(dA=dydz\)
- 平行于xz平面的面积元素：\(dA=dxdz\)
球坐标系
- 体积元素：\(dV=r^2 sin\theta dr d\theta d\phi\)
- 位于\(r=constant\)球面上的面积元素：\(dA=r^2 sin\theta d\theta d\phi\)
- 位于\(\theta=constant\)锥面上的面积元素：\(dA=r sin\theta d\phi dr\)
- 位于\(\phi=constant\)半平面上的面积元素：\(dA=r drd\theta\)
柱坐标系
- 体积元素：\(dV=\rho dpd\phi dz\)
- 位于\(\rho=constant\)圆柱面上的面积元素：\(dA=\rho d\phi dz\)
- 位于\(\phi=constant\)半平面上的面积元素：\(dA=d\rho dz\)
- 位于\(z=constant\)平面上的面积元素：\(dA=\rho d\rho d\phi\)
极坐标系
- 面积元素：\(dA=r drd\theta\)
计算上的背记
- \(\braket{cos^2\omega t}=\braket{sin^2 \omega t}=\frac{1}{2}\)
一些常见积分的结果
\[\int_0^{\pi} cos\theta sin\theta d\theta=\frac{1}{2}\int_0^{\pi} sin2\theta d\theta=0
\]