电磁学

概述

这一部分的内容分为：静电学，静磁学，电路，电磁感应，电磁波

规范变化

电磁学中的规范变化是对电磁势的一个数学变换。而电场和磁场在物理上是不会改变的。
规范不变性。？

旋度与散度

磁场是一个旋量场，由矢量势A的旋度定义

电场是一个散量场，由标量电势\(\Phi\)的梯度定义

电

• 电场：\(E=\frac{F}{q_0}\)
• 电势：\(V=-\int_a^b E\dot dl\)
• 电势能的变化方向取决于电荷的性质和它沿电场方向的运动。对于负电荷，沿着电场的反方向移动时，电势能增加。对于正电荷沿着电场方向移动时电势能减小。
• 能量和做功
  • \(W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_iV(r_i)\)(这是离散的)
  • \(W=\frac{1}{2}\int \rho(r)V(r)d^3r\)(这是连续的)
  • \(U_E=\frac{\epsilon_0}{2}\int|E|^2d^3r\)（电场在空间中存储的能量）
• 边界条件
  • 电场在边界平面上平行分量的连续性：\(E_{\parallel,out}-E_{\parallel,in}=\frac{\delta}{\epsilon_0}\)
  • 电场在边界平面上的垂直分量不连续：\(E_{\vert,out}-E_{\vert,in}=\frac{\delta}{\epsilon_0}\)
  • 电势：电势在任何边界处必须是连续的
• 高斯定律：\(\oint E ds=\frac{Q}{\epsilon_0}\)

点电荷模型

• 库仑力：\(F_{12}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}(\frac{q_1q_1}{r_{12}^2})\hat{r_{12}}\)
• 电场：\(E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}\)
• 电势：\(V(r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{q}{r}\)

无限长直带点导线（线电荷密度为\(\lambda\)）

根据高斯定理 \(\oint E ds=E 2\pi rl=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}\)可以求得电场：

无限大平面电荷板（面电荷密度为\(\delta\)）

带点实心球（半径为R，电荷密度为\(\rho\)）

球内电场： \(\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\)
球外电场：\(\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}\)

有厚度球壳(内层半径为\(R_1\)，外层半径为\(R_2\)，电荷密度为\(\rho\)，总电荷量为Q)

球内空心处电场：\(E=0\)
球壳中电场：\(E=\frac{(r^3-R_1^3)\rho}{3\epsilon_0 r^2}\)
球壳外部：\(E=\frac{Q}{4\pi r^2\epsilon_0}\)

有厚度球壳（电荷分布密度为\(\rho(r)=ar\)）

球内空心出电场：\(E=0\)
球壳中电场：\(E=\frac{a(r^4-R_1^4)}{4 r^2 \epsilon_0}\)
球壳外部：\(E=\frac{a(R_2^4-R_1^4)}{4r^2\epsilon_0}\)

磁生电

产生的磁场有阻碍磁场变化的趋势。由楞次定律来判断方向。
有的时候在电路中我们也使用\(V=\frac{d\Phi}{dt}\)
电场储能：\(U=\frac{\epsilon_0}{2}\int E^2 dV\)

电路

• 导体
  电子能够在其中不受阻碍的四处窜。有的时候题目中会说金属。
  • 导体两端的电压不变
  • 导体内电场为0
  • 导体内电荷密度为0
  • 导体中所有的净电荷都存在于导体表面
  • 导体外的电场都垂直于导体表面
• 电容器
  • \(Q=CV\),C是电容，V是平面板两段的电势差
  • 对于“bare”电容：\(C=\frac{\epsilon_0 A}{d}\)，A是平面板的面积，d是平面板间的距离
  • 对于夹了dielectric材料的电容：\(c=\frac{k\epsilon_0 A}{d}\)
  • \(E=\frac{Q}{A\epsilon_0}\)
  • \(U=\frac{Q^2}{2c}=\frac{1}{2}CV^2\)，U是电容器所储的能量
• 电感器（具有大量线圈的螺线管）
  • 电感器的电感量：\(L=\mu_0\frac{N^2A}{l}\) L是电感量，N为线圈匝数，A为螺线管截面积，l为螺线管长度
  • 电感器储能：\(U_L=\frac{1}{2}LI^2\)
  • 互感：两个电流回路互相靠近时，一个回路中的变化电流会产生变化的磁场，影响另一个回路。这个影响通过互感系数M表示，并且\(M_{12}=M_{21}\)。
  • 自感：一个回路中自身电流产生的磁通量与电流成正比，比例常数为电感量L。
  • 自感电动势：根据法拉第定律，变化的电流会产生感应电动势\(E=-L\frac{dl}{dt}\)
• 电阻
  • 表示材料对电流流动的阻碍程度。\(R=\rho\frac{L}{A}\)，L是材料长度，A是横截面积，\(\rho\)是电阻率且仅与电阻材料有关。
• DC电路
  • 电压：\(V_R=IR\)，\(V_C=\frac{Q}{C}\)，\(V_L=L\frac{dI}{dt}\)
  • 串联：\(R=\sum_i R_i\)，\(\frac{1}{C}=\sum_i \frac{1}{C_i}\)，\(L=\sum_i L_i\)
  • 并联：\(\frac{1}{R}=\sum_i \frac{1}{R_i}\)，\(C=\sum_i C_i\)，\(\frac{1}{L}=\sum_i \frac{1}{L_i}\)。 并联分流，并且与电阻成反比。
  • 基尔科夫定理
    • 对于电路中的任何一个节点，流入节点的电流综合等于流出节点的电流总和。
    • 在闭合电路的任意一条路径中，所有电势升高与下降的代数和为零。
    • 功率：\(P=IV=I^2 R=\frac{V^2}{R}\)
• AC电路
  • 电容：通高频，阻低频 \(\frac{1}{X_c}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}\) \(X_c\)是电容阻抗
  • 电感：通低频，阻高频 \(X_L=\omega L=2\pi f L\) \(X_L\)是电感阻抗
• LC电路
  电路接通电压后电感器会抑制电流的突然变化，并且会建立一个随时间变化的电流。电路的电流随时间按照指数方式上升，电感器上的电压则会按照指数方式衰减：\(V_L(t)=Ve^{-\frac{R}{L}t}\)
  LC电路中的电流：LC电路中电流与时间的关系遵循谐振条件。而其角频率为\(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)。电流的震荡市周期性的，当电容器的电荷最大时，电流为零，当电容器中的电荷为零时，电流达到最大值 \(I(t)=I_0 sin(\omega t)\)
• RC电路
• 电路的时间常数：描述电容器充电或放电过程中，电路电压变化速率的物理量。对于简单的RC电路，时间常数\(\tau=RC\)代表充电或放电过程中，电容器电压达到其最终值\(\frac{1}{e}\)所需的时间，时间常数越大电路相应越慢，时间常数越小，电路响应越快。
• 带通滤波器（bandpass filter）允许特定频率范围内的信号通过，同时抑制低于和高于该频率范围内的信号。
  • 中心频率：带通滤波器允许通过的频率范围的最中间。中心频率是滤波器特性曲线中增益最高的点。
  • 带宽：允许通过的频率范围的宽度，最高频率与最低频率的差值。

磁

磁场对带电体的作用

对于点电荷（洛伦兹力）：\(F_B=qv\times B\)。对于载流导体：\(dF_B=Idl\times B\)。

相对论效应下

接近光速的带电粒子在磁场中运动的洛伦兹力满足：

其中\(\gamma\)为洛伦兹变换因子\(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)

电生磁

• 安培定理：\(\oint B*dl=\mu_0 I\)（适用于强对称性的系统）
• 毕奥-萨伐尔定理：\(dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Idl\times \vec{r}}{r^3}\)（任意分布的电流）
  由右手定则来判断方向

无限长直导线周围某一点的磁感应强度

利用安培环路定理：\(\oint \vec{B}d\vec{l}=\mu_0I\) 在导线周围画一个圈\(2\pi rB=\mu_0 I\) 得到 \(B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\)

通电圆环

利用毕奥萨伐尔定律：\(B=\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}\)，其中z是场点到圆环平面的垂直距离

半圆电流

利用毕奥萨伐尔定律：\(B=\frac{\mu_0 I}{4R}\)

无限大平面电流板一侧磁场

电流板上下的磁场方向相反，大小相同

无限长螺线管（电流强度为I，单位长度上有n线圈）

这是螺线管内部的，螺线管外部磁场为0。

环形通电螺线圈

边界条件

• 磁场在边界法向方向连续：\(B_{\vert,out}-B_{\vert,in}=0\)
• 若边界上有面电流，磁场的切向分量不连续：\(B_{\parallel,out}-B_{\parallel,in}=\mu_0K\times \vec{n}\)

磁场的做功与储能

• 磁场不做功：因为洛伦兹的力的方向与粒子运动分方向时垂直的
• 磁场储存的能量密度：\(U_B=\frac{1}{2\mu_0}\int|B|^2d^3r\)

麦克斯韦方程

电场的高斯定理

• 微分形式：\(\Delta*E=\frac{rho}{\epsilon_0}\)
• 积分形式：\(\oint E*dA=\frac{Q}{\epsilon_0}\)
  电场有源，源自电荷

磁场的高斯定理

• 微分形式：\(\Delta * B=0\)
• 积分形式：\(\oint B*dA=0\)
  磁场无源，也不存在磁单极子，磁场线总是闭合的

法拉第电磁感应定律

• 微分形式：\(\Delta\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}\)
• 积分形式：\(\oint E*dl=-\frac{d}{dt}\int B dA\)
  是磁生电的基础，说明变化的磁场会在闭合回路中感应出电场

安培-麦克斯韦定律

• 微分形式：\(\Delta \times B=\mu_0J+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}\)
• 积分形式：\(\oint B*dl=\mu_0 I+\mu_0\epsilon_0\frac{d}{dt}\int EdA\)

电磁波

电磁波的波动方程

\(\Delta^2E=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}\)
\(\Delta^2B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 B}{\partial t^2}\)
波速，也就是光速为：\(c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}\)
电磁波是横波，电场和磁场均垂直于传播方向。磁场与电场和传播方向正交。
电磁波中的电场能量密度：\(u_E=\frac{\epsilon_0 E^2}{2}\)
电磁波中的磁场能量密度：\(u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}\)

坡印廷矢量

描述单位时间通过单位面积的电磁能量的流量：\(s=\frac{1}{\mu_0}E\times B\)
复数表示为：\(\frac{1}{2\mu_0}Re(\hat{E}\times\hat{B})\)，物理意义是能量的流密度。磁场大小和电场的关系：\(B=\frac{E}{c}\)。

偶极子

电偶极子

定义：由两个相反电荷q和-q组成，位置分别为\(r_1\)和\(r_2\)，定义为\(P=qd\)，其中d是从负电荷指向正电荷的矢量。
电势：\(V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p\hat{r}}{r^2}\)
电场：衰减为\(\frac{1}{r^3}\)
势能：\(U=-p*E\)
力矩：\(N=p\times E\)

磁偶极子

定义：因为自然界中不存在磁单极子，磁偶极是由电流环构成的，定义为\(m=IA\)
磁场：随\(\frac{1}{r^3}\)衰减
力矩：\(N=m\times B\)
势能：\(U=-mB\)

多级展开

是很重要的一种近似思想，在研究复杂电荷分布时将物理量展开成很多级贡献，每一级对应于不同的几何分布。最低阶位单极，对应于系统的总电荷；第二阶为偶极，对应于电偶极或者磁偶极；更高阶的对应于更复杂的分布。

• 单极项：如果体系有净电荷，电势的第一个非零项是单极项，它与总电荷Q有关，电势衰减为\(\frac{1}{r}\)
• 偶极项：如果体系呈电中性，但存在电荷分离，则偶极项非零，电势衰减为\(\frac{1}{r^2}\)
• 高阶项：更复杂的电荷分布会有高阶项，这些项的影响随着距离的增加迅速减小

Larmor公式

带电粒子在电磁场中的加速运动会导致能量以电磁波的形式辐射出去。Larmor公式描述了非相对论情况下加速带电粒子的辐射功率。它解释了电荷q和和加速度a是辐射功率的决定性因素。

其中P是粒子的电荷，a是粒子的加速度，\(\epsilon_0\)是真空电容率，c是光速。

极化电场

极化矢量和束缚电荷的关系\(\rho_b=-\bigtriangledown P\)，其中p为极化矢量
已知一个极化电荷密度，我们可以知道球体内的束缚电荷总量为：\(Q=\int_0^r \rho_b(r)4\pi r^2 dr\)

半导体

• p-type:存在大量正电子或者空洞（也就是电子可以填充的空态）
• n-type:存在大量的电子

逻辑门

• 与非门：就是将与门的输入全部反转
• 或非门：就是将或门的输入全部反转

磁矩

• 磁偶极矩：\(\vec{m}=I\cdot A \cdot \hat{n}\)。I为电流环的面积，A为环的面积，\(\hat{n}\)为垂直于环面的单位矢量。
• 扭矩公式：\(\vec{r}=\vec{m}\times\vec{B}\)