§5. 无穷小量与无穷大量

mengqing80 / 2023-09-01 / 原文

1. 掌握无穷小量和无穷大量的定义与联系；能够区分无穷小量和有界量，无穷大量和无界量；掌握无穷小量阶的比较（特别是等价的无穷小量）；能够运用定理3.12（等价的无穷小在乘法和除法中可以相互替换）求函数的极限。

2. 掌握求曲线斜渐近线和垂直渐近线的方法。

重点习题：第2题重点考察定理3.12，第4题考察求曲线的渐近线。

无穷小量小史

无穷小量对应英语的 Infinitesimals （此词源于十七世纪的现代拉丁语新造词 infinitesimus, 本来是指一个序列的“第无穷个”元素），用于表达一种极其微小的对象，人们根本无从看见它们或者量度它们。在日常生活中，Infinitesimal 作为形容词可以指“非常小”，但不一定是“无穷的小”。而中文的“无穷小量”仅是技术用语。

“无穷小的量”这个概念最初在埃利亚学派有所讨论。阿基米德在他的《机械原理方法论》（en:The Method of Mechanical Theorems）初次提出过一种和无穷量有关的逻辑上严密的叙述。不过在古希腊的数学系统里，实数并没有独立的存在地位，而是用几何上的长度来表示： 1 是代表某条线段的规定长度，用来给出测量所需的长度单位，数的加减法用线段的延长和截短来表示。阿基米德所说的是：对任意两个长度不等（无论长度相差多少）的线段，在长线段里不断截去短线段的长度，在有限次之后就不能再截下去，因为那些短线段长度的“和”超过了原本较长的那一条。如果把线段长度理解成数的话，则反映了实数集的阿基米德性质：没有任何实数 x 可以满足条件 |x|>1，|x|>1+1，|x|>1+1+1 …… ，也就是说，无穷大的实数并不存在。尽管如此，阿基米德还是把无穷大量和无穷小量用于启发式的论证中，但在完整的数学证明里则拒绝使用它们，而致力于使用“穷竭法”, 类似于现在的“ε-δ语言”。

牛顿和莱布尼兹发展微积分学时使用过无穷小量，但这样的不严格使用引来一些批评者的攻击。贝克莱主教就是其中之一。尽管数学家、科学家、工程师等不断使用无穷小量来得到正确的结果，微积分却一直到十九世纪后半叶才等到了其形式上的数学基础，这是由卡尔·魏尔斯特拉斯等人以极限概念为基础来完成的。在二十世纪，无穷小量才得到了严格的处理，成为一种“数”。以上任何一种处理办法都不是错误的——如果正确地使用的话。

在一份HPM（数学史与数学教学，History and Pedagogy of Mathematics）的研究中，对无穷小量在一些数学家眼里的认识有一个总结：

人物	年代	对无穷小量的观点，或处理方法
欧几里得等古希腊数学家	公元前300年	穷竭法：他们相信用间接法才能使面积问题获得严格证明。
卡瓦列里（B。 Cavalieri）	1598-1647	把无穷小量的办法推进了一步(见祖暅原理)。
沃利斯（J。 Wallis）	1616-1703	他对极限的定义“含有正确的想法，但用词不严谨”。
莱布尼兹	1646-1716	其算法很成功，但“对概念不太确定”。他对于“消失中的量”的立场是复杂的，而且随时间而变。
欧拉	1707-1783	获得了很多重要结果，但不考虑真正无穷小量带来的困难。其观点受十七世纪典型的科学思维框架影响。
达朗贝尔（J。 d'Alembert）	1717-1783	拒绝承认“消失中的量”。他给出过极限的定义，但措辞不明确。
拉格朗日	1736-1813	也拒绝承认无穷小量，企图把微积分归结为代数。
柯西	1789-1857	其写下的定义至今依然通用，由当时可以使用的数学语言写成。