同构专题
同构专题
by djs
latest update: 2023.08.31
能同构就同构，因为无论怎样都会大大简化问题。
\(\rm I\) 总论部分（\(\sf gs\)）
\(\it 1.1\) 原理
同构，即将目标式 \(F(x)\) 通过变形化为若干个 \(f(g(x))\) 的形式，达到大大简化问题的效果。同构与直接展开代数式相反，是代数式逆向构造代数式的过程，糅合了构造思想，难度较大，故熟练掌握同构需要经验的积累。
\(\it 1.1\) 导数同构背景下的代数式观察
【指幂对幂】
- 当代数式同时出现指数部分和对数部分时，往往求导会很繁杂，而绝大部分的同构的原式都是指幂混合或对幂混合的。故出现指-幂-对-幂结构且出现相似代数式时可以考虑观察同构。
- 当只出现指数和对数而缺少幂函数时，可以根据情况考虑补充幂函数。指数对数同时出现时观察是否能够同构。
- 某一块式子反复出现时考虑同构。
【指对同构】
- 同构标志之一，常见形式为 \(e^x\) 乘除、\(\ln x\) 加减。即任意一个数都可以写成 \(x=e^{\ln x}=\ln(e^x)\)。
- \(A\cdot e^x \to e^{x+\ln A}\) 构造 \(x+\ln A\)，乘除变加减（\(\dfrac{e^x}{A}\) 同理）。
- \(A+\ln x \to \ln(e^Ax)\)，加减变乘除（减法同理）。
- \(e^{2x}=(e^x)^2\) 有幂次，不要被其表面形式骗了。
\(\it 1.3\) 常见同构函数
- \(xe^x\to\ln x\cdot e^{\ln x}=x\ln x\)
- \(xe^x=e^{x+\ln x}\lrarr x+\ln x\)
- \(e^x+x\lrarr x+\ln x\)（经典指幂对幂，通常是两边 \(+x\) 得到的）
\(\rm II\) 习题部分
\(\it 2.1\) Medium
Problem 1
\(f(x)=x+\ln x, g(x)=x\ln x\)，若 \(f(x_1)=\ln t, g(x_2)=t\)，则 \(x_1x_2\ln t^2\) 的最小值是（ ）
Problem 2
证明：\(x^2e^{3x}-3x-2\ln x-1\ge 0\)
Problem 3
构造同构形式：\(e^{x+m}+m\ge\ln x\)
\(\it 2.2\) Hard
Problem 1
\(a>1,x>1\)，证明 \(\ln(ax)\le\dfrac{e^x}{a}\)。
Problem 2
证明：\(e^x>x^2-x\ln x+x\)。
Problem 3
\(a>0, x>0\)，证明 \(ae^{x-1}\ln x+\ln a\ge 1\)。
\(\it 2.3\) Lunatic(?)
Problem 1
不是很 lunatic。
\(a>0, x\ge 1\)，证明 \(a(e^{2ax}-1)\ge(x-\dfrac{1}{x})\ln x\)。
未解之谜
若 \(xe^x-ax\ge\ln x+1\) 对 \(x>0\) 恒成立，求 \(a\) 的范围？