大根堆的拓扑反序

Smiling-Weeping / 2023-08-25 / 原文

Smiling & Weeping

　　　　　　　　　　　　　　　　---- 我生活在自己的光里面，不断啜饮内心的火焰

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/solution/P3243

题目：

# [HNOI2015] 菜肴制作

## 题目描述

知名美食家小 A 被邀请至 ATM 大酒店，为其品评菜肴。ATM 酒店为小 A 准备了 $n$ 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予 $1$ 到 $n$ 的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为 $1$。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 $m$ 条形如 $i$ 号菜肴必须先于 $j$ 号菜肴制作的限制，我们将这样的限制简写为 $(i,j)$。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A 能尽量先吃到质量高的菜肴：

也就是说，

1. 在满足所有限制的前提下，$1$ 号菜肴尽量优先制作。

2. 在满足所有限制，$1$ 号菜肴尽量优先制作的前提下，$2$ 号菜肴尽量优先制作。

3. 在满足所有限制，$1$ 号和 $2$ 号菜肴尽量优先的前提下，$3$ 号菜肴尽量优先制作。

4. 在满足所有限制，$1$ 号和 $2$ 号和 $3$ 号菜肴尽量优先的前提下，$4$ 号菜肴尽量优先制作。

5. 以此类推。

例 1：共 $4$ 道菜肴，两条限制 $(3,1)$、$(4,1)$，那么制作顺序是 $3,4,1,2$。

例 2：共 $5$ 道菜肴，两条限制 $(5,2)$、$(4,3)$，那么制作顺序是 $1,5,2,4,3$。

例 1 里，首先考虑 $1$，因为有限制 $(3,1)$ 和 $(4,1)$，所以只有制作完 $3$ 和 $4$ 后才能制作 $1$，而根据 3，$3$ 号又应尽量比 $4$ 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 $3,4,1$；接下来考虑 $2$，确定最终的制作顺序是 $3,4,1,2$。

例 $2$ 里，首先制作 $1$ 是不违背限制的；接下来考虑 $2$ 时有 $(5,2)$ 的限制，所以接下来先制作 $5$ 再制作 $2$；接下来考虑 $3$ 时有 $(4,3)$ 的限制，所以接下来先制作 $4$ 再制作 $3$，从而最终的顺序是 $1,5,2,4,3$。现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出 `Impossible!`（首字母大写，其余字母小写）

## 输入格式

第一行是一个正整数 $t$，表示数据组数。接下来是 $t$ 组数据。对于每组数据：第一行两个用空格分开的正整数 $n$ 和 $m$，分别表示菜肴数目和制作顺序限制的条目数。接下来 $m$ 行，每行两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 号菜肴必须先于 $y$ 号菜肴制作的限制。

## 输出格式

输出文件仅包含 $t$ 行，每行 $n$ 个整数，表示最优的菜肴制作顺序，或者 `Impossible!` 表示无解。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

```
3
5 4
5 4
5 3
4 2
3 2
3 3
1 2
2 3
3 1
5 2
5 2
4 3
```

### 样例输出 #1

```
1 5 3 4 2
Impossible!
1 5 2 4 3
```

## 提示

**【样例解释】**

第二组数据同时要求菜肴 $1$ 先于菜肴 $2$ 制作，菜肴 $2$ 先于菜肴 $3$ 制作，菜肴 $3$ 先于。

菜肴 $1$ 制作，而这是无论如何也不可能满足的，从而导致无解。

**【数据范围】**

$100\%$ 的数据满足 $n,m\le 10^5$，$1\le t\le 3$。

$m$ 条限制中可能存在完全相同的限制。

思路：情况一：（未成环）需要建反图（是按一系列菜肴中最小的尽量靠前），按字典序排序完成了的菜肴，首先priority_queue按元素从大到小排序，我们所得到的是字典序从大到小的，那我们需要从小到大，那么逆着输出就可以了，很绕_(¦3」∠)_

情况二：（成环）ans[0] != n(即所有已按字典排序的菜肴不足n个，有成环的)

Talk is cheap , show me the code

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int n,m,t,head[100010],tot,in[100010],ans[100010];
 4 struct edge{
 5     int from,to,cost,next;
 6 }e[100010];
 7 void addedge(int from, int to , int cost){
 8     e[++tot].from=from; e[tot].to=to; e[tot].cost=cost; e[tot].next=head[from];
 9     head[from]=tot;
10 }
11 int topo(){
12     priority_queue<int> q;
13     for(int i = 1; i <= n; i++){
14         if(!in[i]){
15             q.push(i);
16         }
17     }
18     if(q.empty()) return 1;
19     while(!q.empty()){
20         int now = q.top(); q.pop();
21         for(int i = head[now]; i ; i=e[i].next){
22             in[e[i].to]--;
23             if(!in[e[i].to]){
24                 q.push(e[i].to);
25             }
26         }
27         ans[++ans[0]] = now;
28     } 
29     if(ans[0] != n) return 1;
30     return 0;
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%d",&t);
35     while(t--){
36         int x,y,w;
37         memset(in,0,sizeof(in));
38         memset(e , 0 , sizeof(e));
39         memset(head , 0 ,sizeof(head));
40         ans[0] = 0;
41         tot=0;
42         scanf("%d%d",&n,&m);
43         for(int i = 1; i <= m; i++){
44             scanf("%d%d",&x,&y);
45             addedge(y,x,1);
46             in[x]++;
47         }
48         if(topo()){
49             printf("Impossible!\n");
50             continue;
51         }
52         for(int i = ans[0]; i >= 1; i--)
53             printf("%d ",ans[i]);
54         printf("\n");
55     }
56     return 0;
57 }