高等数学——微分
微分
微分的定义
设函数 \(y=f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_{0}\) 及 \(x_{0}+\Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量
\[\Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})
\]
可表示为
\[\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)
\]
其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(dy\) 即
\[dy = A\Delta x
\]
此时 \(A\) 与 \(x\) 有关，与 \(\Delta x\) 无关。
可微是可导的充分必要条件。
\(A\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处的导数。
基本微分公式与法则
\[d(u\pm v) = du + dv
\]
\[d(Cu) = Cdu
\]
\[d(uv) = vdu + udv
\]
\[d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu - udv}{v^{2}}
\]
复合函数的微分
若 \(y = f(u),u=g(x)\)
则：
\[dy = y'_{x}dx=f'(u)g'(x)dx
\]