题解：AT_agc027_b [AGC027B] Garbage Collector
Problem Link
[AGC027B] Garbage Collector
题意
原题翻译已经很不错了，这里不再赘述。
思路
推论：每次取的垃圾数量应尽可能均分。
证明
如图，假设有 \(4\) 个垃圾需要被捡起，有两种取法：
-
取一号垃圾+取二三四号垃圾。
-
取一二号垃圾+取二三号垃圾。
前者所需能量为：\(\displaystyle 20x_1+16x_2+9x_3+4x_4\)。
后者所需能量为：\(\displaystyle 18x_1+13x_2+9x_3+4x_4\)。
由于保证所有 \(x_i\) 均大于 \(0\)，所以后者明显更优。然后使用归纳法很容易证明推论是正确的。
之后思路就很清晰了，每次从 \(1\) 到 \(n\) 枚举 \(k\)，计算每段垃圾所需能量之和。
但是如何计算呢？
暴力计算式子很裸，由于我们一定是走到最后一个要取的垃圾再开始取垃圾，我们将 \(x\) 数组 reverse 一下，那么所需能量即为：
\[
x_1+\sum_{i=1}^{n} ((i+1)^2+p_i-p_{i+1})
\]
其实这个是可以化简的：
\[
x_1+\sum_{i=1}^{n} ((i+1)^2+p_i-p_{i+1}) = 5x_1+\sum_{i=2}^{n}(2i+3) \times p_i
\]
这样，对于每个 \(k\)，前缀和处理价值即可，每个 \(k\) 的复杂度是 \(\displaystyle O(\frac{n}{k})\)，故总复杂度为 \(\displaystyle O(n \ln(n))\)。
其他疑问见代码。
代码
// written by Naught
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef __int128 it;
// #define int long long
#define Maxn 400005
#define p2(x) (1ll*(x)*(x))
#define fo(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define fr(i, r, l) for (int i = l; i >= r; --i)
// #define getchar()(p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
// char buf[1<<21], *p1 = buf, *p2 = buf;
// inline int read(int x=0, bool f=0, char c=getchar()) {for(;!isdigit(c);c=getchar()) f^=!(c^45);for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);return f?-x:x;}
// inline ll lread(ll x=0, bool f=0, char c=getchar()) {for(;!isdigit(c);c=getchar()) f^=!(c^45);for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);return f?-x:x;}
void train() {ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);}
int n, d[Maxn];
it ans = 2e24, x, s[Maxn];
void ct(it x)
{
string anss;
while(x)
{
anss = char(x%10+'0') + anss;
x /= 10;
}
cout << anss << '\n';
}
int main()
{
train();
ll nn, xx;
// n = read(), x = read();
cin >> nn >> xx;
n = nn, x = xx;
fo(i, 1, n) cin >> d[i];
reverse(d+1, d+n+1);
fo(i, 1, n) s[i] = s[i-1]+d[i];
fo(k, 1, n)
{
it res = k*x+5*s[k];
fo(i, 2, (n+k-1)/k) res += (2*i+1)*(s[min(i*k, n)]-s[(i-1)*k]);
ans = min(ans, res);
}
// cout << ans + x*n;
ans += x*n;
ct(ans);
return 0;
}
/*
*/
Tips
因为会爆 long long，所以建议使用 __int128。