NC23047 华华给月月出题

空白菌 / 2023-08-26 / 原文

题目链接

题目

题目描述

华华刚刚帮月月完成了作业。为了展示自己的学习水平之高超，华华还给月月出了一道类似的题：
\(Ans=\oplus_{i=1}^N(i^N\mod(10^9+7))\)
\(\oplus\) 符号表示异或和，详见样例解释。
虽然月月写了个程序暴力的算出了答案，但是为了确保自己的答案没有错，希望你写个程序帮她验证一下。

输入描述

输入一个正整数N。

输出描述

输出答案Ans。

示例1

输入

输出

说明

N=3时，\(1^3=1\) ，\(2^3=8\) ，\(3^3=27\) ，异或和为18。

示例2

输入

输出

863466972

备注

\(1\le N\le 1.3\times10^7\)

题解

知识点：筛法。

设 \(f(i) = i^N\) ，那么对于任意两个数 \(i,j\) 有 \(f(ij) = f(i) \cdot f(j)\) ，因此 \(f\) 是完全积性函数，可以用线性筛线性求出。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1.3e7 + 7;
const int P = 1e9 + 7;
int qpow(int a, ll k) {
    int ans = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) ans = 1LL * ans * a % P;
        k >>= 1;
        a = 1LL * a * a % P;
    }
    return ans;
}

bool vis[N];
vector<int> prime;
int f[N];
int get_prime(int n) {
    f[1] = 1;
    int ans = 1;
    for (int i = 2;i <= n;i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime.push_back(i);
            f[i] = qpow(i, n);
        }
        for (auto j : prime) {
            if (i * j > n)break;
            vis[i * j] = 1;
            f[i * j] = 1LL * f[j] * f[i] % P;//完全积性函数
            if (!(i % j)) break;
        }
        ans ^= f[i];
    }
    return ans;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    cout << get_prime(n) << '\n';
    return 0;
}